“24点扑克牌游戏”的游戏规则是：任取除大小王之外的4张扑克牌，看能否在其间添加四则运算符号和括号得出24。在这个游戏里，由于限制在4个数和四则运算的范围内，所以利用电脑程序检验运算结果相对简单。有一位叫中大黑熊的博主编写了一个仅有300行的Java程序，就不但提供了源程序，而且可以在GUI上显示。我们来看一个具体的例子（如图1）：

图1. 24点扑克牌游戏 /作者

在这个例子中，我们有 (7-(8/8))*4=24。并不是每个组合都能产生24这个结果。比如♥A ♦A ♣A ♠A（即1，1，1，1组合）就不能产生出24。另一方面，有些组合可以产生多种解法。比如，♥2 ♦4 ♣6 ♠Q（即2，4，6，12组合）可以用2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4 × 6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4 × (6 + 2) = 24 等来求解。不管一个组合能否组成24，总共有多少个可能的组合呢？这是一个排列组合问题。我们要求的是有1到13个独立数字的有重复的组合，可以用下式计算：

（注：用组合数学中的隔板法可以得到此公式，参见今天推送的第二篇文章）

即有1820个组合。可以用枚举的方法证明，在这1820个组合中，有458个组合无解。当然这是严格限制使用加减乘除来运算的条件下。有的人允许乘方开方和指数对数等运算，那么有解的情况就更多了。总之，大多数情况都是有解的，拿到牌之后我们不应轻易放弃。

我们给一个稍微有点挑战的题目：♥5 ♦5 ♣5 ♠A。有聪明的商人把能解的数组做成游戏卡出卖，很受欢迎。图1右是我在一个美国初中的数学教室里看到的。

那次去学校是为了观摩他们的数学圈（Math Circle）活动的。讲课的是几个高中生，听课的是一群初中生。老师看我有些无聊，就主动邀请我跟他玩一盘游戏“Blokus”（如图2）。这是一个有关几何对称的四人游戏，能帮助学生熟悉几何思维。

图2. 美国数学老师有很多游戏 /作者

其实，随着我们数学知识的增长，大可不必再限制于4个1到13之中的数字和加减乘除四则运算上。事实上，英雄所见略同，早就有人打破常规，把乘方、开方、对数、取整甚至阶乘运算扩大到了“24点扑克牌游戏”。

现在，我们再扩大一点，允许有任意多个数字，而且等号的位置也可以是任意的。下面我们来举例（如图3）说明：如果已知3个数489、2、978，

图3. Numenko游戏题面 /numenko_com

那么在489和2之间以及2和978之间，我们需要添加哪种运算符号和等号才能使得它成为一个等式呢？这个问题的答案如下图（如图4）所示：

图4. Numenko游戏解答 /numenko_com

上面这种扩展的“24点扑克牌游戏”有一个专门的名字，叫做“Numenko”。

我们再来试想一下，能否也像中大黑熊一样用Java语言写一个自动验证其计算结果的程序呢？不得不说，这个工作要复杂得多，绝不是300行程序所能完成的。那么怎么办呢？不要着急，这时我们可以调用现成的软件包来达到目的。MuParser就是一个理想的现成的软件包。

顺便再介绍一个类似于Numenko的趣味数学游戏：“Hexa Trex”（如图5左）。你的目标就是用上每一个符号并使等式成立。这个例子的解答为21+3=8×3（如图5右）。

图5. Hexa Trex游戏 /作者

如果读者不甘心用现成的软件包，有兴趣尝试自己来写程序验证计算结果的话，那么我们建议大家最好用Python语言，因为Python不但免费，而且支持数学表达式的读取。而Matlab和Mathemaitica等商业软件虽也有相同的功能，但不是免费的。

在下面的蜂窝状图形里（如图6），你可以有3种移动方法：从一个蜂房到右边紧挨的蜂房，到右上角紧挨的蜂房，或到一个右下方相邻的蜂房。请问从A到B有多少条路径？

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